计算方法实验/实验二

实验二

解线性方程组的迭代法

【作业内容】：应用雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代算法解线性方程组：

$$\left\{\begin{array}{c} 8x_1 - 3x_2 + 2x_3 + x_4 = 8\\ 4x_1 + 11x_2 - x_3 + 2x_4 = 16\\ 7x_1 + x_2 + 12x_3 +2x_4 = 22\\ x_1 + 3x_2 - 5x_3 + 15x_4 = 14\\ \end{array}\right.$$

【作业要求】：

1. 用Matlab语言编写雅可比（Jacobi）迭代法程序，如若使误差不超过0.0001，应该迭代多少次？按照所预测的迭代次数进行计算，观察输出结果（要求显示每次迭代的中间结果）；

2. 用Matlab语言编写高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法程序，如若使误差不超过0.0001，应该迭代多少次？按照所预测的迭代次数进行计算。观察输出结果（要求显示每次迭代的中间结果）。

雅可比（Jacobi）迭代法

本题的系数矩阵为:

$$A = \left[\begin{matrix} 8 & -3 & 2 & 1\\ 4 & 11 & -1 & 2\\ 7 & 1 & 12 & 2\\1 & 3 & -5 & 15\\ \end{matrix}\right]$$

分解矩阵：$A = D - L -U$

$$D = \left[\begin{matrix} 8 & & & \\ & 11 & & \\ & & 12& \\ & & & 15\end{matrix}\right], L = \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ -4 & 0 & 0 & 0\\ -7 & -1 & 0 &0\\-1& -3& 5&0 \end{matrix}\right], U = \left[\begin{matrix} 0 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & -2\\0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right]$$

$B = D^{-1}(L+U)$

利用matlab求解:

A = [8,-3,2,1;4,11,-1,2;7,1,12,2;1,3,-5,15];
D = diag(diag(A));  % 获取对角矩阵
L = - tril(A,-1);   % 获取下三角矩阵
U = - triu(A,1);		% 获取上三角矩阵
B = inv(D)*(L+U);   % 计算Jacobi矩阵
norm(B,2);						% 计算2-范数

求得 $q = norm(B,2)=0.7462$

取 $x^{(0)}=\{0,0,0,0\}’$，计算得： $x^{(1)}=\{1,\frac{16}{11},\frac{11}{6},\frac{14}{15} \}’$

利用matlab求得：$norm((x^{(1)}-x^{0}),2) = 2.7107$

所以有:

$$||x^{*} - x^{(k)} ||_{2} \leq \frac{q}{1-q}||x^{(1)}-x^{(0)}||_2$$

如若使误差不超过0.0001，即:

$$\frac{0.7462^k}{1-0.7462} * 2.7107 \leq 0.0001$$

解得:

$$k \geq 39.54545059$$

所以应该迭代40次

matlab代码如下

% Jacobi.m
% Jacobi迭代法求解作业二
% A为方程组的增广矩阵
format long;
A = [8,-3,2,1;4,11,-1,2;7,1,12,2;1,3,-5,15];
b = [8,16,22,14]';
A = [A,b]; % 构造增广矩阵
% A=[10 -2 -1 3;-2 10 -1 15;-1 -2 5 10];
MAXTIME=40;%最多进行40次迭代
eps=1e-5;%迭代误差
[n,m]=size(A);
x=zeros(n,1); %迭代初值，从全零开始迭代
y=zeros(n,1);
k=0;
%  进入迭代计算
disp('迭代过程X的值情况如下:')
disp('X=');
 while k <= MAXTIME
     disp(x');
     for i=1:1:n
        s=0.0;
        for j=1:1:n
            if j~=i
                s=s+A(i,j)*x(j); 
            end
        y(i)=(A(i,n+1)-s)/A(i,i);
        end
     end
     x = y;
     y = zeros(n,1);
     k=k+1;
 end
format short;

高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法

本题的系数矩阵为:

$$A = \left[\begin{matrix} 8 & -3 & 2 & 1\\ 4 & 11 & -1 & 2\\ 7 & 1 & 12 & 2\\1 & 3 & -5 & 15\\ \end{matrix}\right]$$

分解矩阵：$A = D - L -U$

$$D = \left[\begin{matrix} 8 & & & \\ & 11 & & \\ & & 12& \\ & & & 15\end{matrix}\right],L = \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ -4 & 0 & 0 & 0\\ -7 & -1 & 0 &0\\-1& -3& 5&0 \end{matrix}\right],U = \left[\begin{matrix} 0 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & -2\\0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right]$$

$G = (D-L)^{-1}*U$

利用matlab求解

A = [8,-3,2,1;4,11,-1,2;7,1,12,2;1,3,-5,15];
D = diag(diag(A));  % 获取对角矩阵
L = - tril(A,-1);   % 获取下三角矩阵
U = - triu(A,1);		% 获取上三角矩阵
G = inv(D-L)*(U);   % 计算Gauss_Seidel矩阵
norm(G,inf)						% 计算无穷范数

算得norm(G,inf) = 0.75

取 $x^{(0)}=\{0,0,0,0\}’$，计算得： $x^{(1)}=\{1,\frac{12}{11},\frac{51}{44},\frac{683}{660} \}’$

利用matlab求得：$norm((x^{(1)}-x^{0}),2) = 2.1458$

所以有:

$$||x^{*} - x^{(k)} ||_{2} \leq \frac{q}{1-q}||x^{(1)}-x^{(0)}||_2$$

如若使误差不超过0.0001，即:

$$\frac{0.75^k}{1-0.75} * 2.1458 \leq 0.0001$$

解得:

$$k \geq 39.48854748$$

所以应该迭代40次

matlab代码如下

% Gauss_Seidel.m
%  A为方程组的增广矩阵
format long;
A = [8,-3,2,1;4,11,-1,2;7,1,12,2;1,3,-5,15];
b = [8,16,22,14]';
A = [A,b]; % 构造增广矩阵
% A=[10 -2 -1 3;-2 10 -1 15;-1 -2 5 10]
[n,m]=size(A);
%  最多进行50次迭代
Maxtime=40;
%控制误差
Eps=10E-5;
%  初始迭代值，均为0
x=zeros(1,n);
disp('x=');
%  迭代次数小于最大迭代次数,进入迭代
for k=1:Maxtime    
    disp(x);    
    for i=1:n
        s=0.0;
        for j=1:n
            if i~=j
             s=s+A(i,j)*x(j);%计算和
            end
        end
        x(i)=(A(i,n+1)-s)/A(i,i);%求出此时迭代的值
    end
end
X=x;
disp('迭代结果:');
X
format short;