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计算方法实验/实验三

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解非线性方程的迭代法

实验三

解非线性方程的迭代法

【作业内容】：用Matlab编程求方程，分别求

$f(x) = x^{5}-12.5x^4 +57.5x^3 -118.75x^2 + 105.5625x -29.53125 = 0$

在区间$（0，1），(1, 2)，(2, 3)，(3, 4)$和$（4，5）$中的根，初值分别取为$0.1，1.1，2.1，3.1$，和$4.1$。

【作业要求】：

  1. 你自己设计一种不动点迭代法，要使迭代序列收敛,使得 $|x_k - x_{k-1}|<10^{-8}$ 为止. 输出迭代初值及各次迭代初值和迭代次数$k$

  2. 用牛顿迭代法，计算到$|x_k - x_{k-1}|<10^{-8}$为止．输出迭代初值及各次迭代值和迭代次数$k$

  3. 比较上述两种方法的优劣.

你自己设计一种不动点迭代法，要使迭代序列收敛,使得 $|x_k - x_{k-1}|<10^{-8}$ 为止. 输出迭代初值及各次迭代初值和迭代次数$k$

  • 首先构造迭代方程 $\varphi(x)$

绘制$\varphi(x)$ 与 $\varphi’(x)$的图像，找到合适的迭代区间

matlab自定义脚本如下：

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clear;
clc;
syms x;
% 依次绘制图像
f(x)=((-12.5*x^4+57.5*x^3-118.75*x^2+105.5625*x-29.53125)/(-1))^(1/5);
Plot_Test(f);

% g(x)=((x^5+57.5*x^3-118.75*x^2+105.5625*x-29.53125)/12.5)^(1/4);
% Plot_Test(g);
% 
% h(x)=((x^5-12.5*x^4-118.75*x^2+105.5625*x-29.53125)/(-57.5))^(1/3);
% Plot_Test(h);
% 
% p(x)=((x^5-12.5*x^4+57.5*x^3+105.5625*x-29.53125)/118.75)^(1/2);
% Plot_Test(p);
% 
% q(x)=((x^5-12.5*x^4+57.5*x^3-118.75*x^2-29.53125)/(-105.5625));
% Plot_Test(q);

具体绘制代码：

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function [] = Plot_Test(f)
syms x;

% 求出导函数
df(x) = diff(f(x));

x0 = 0:0.001:6;
y0 = f(x0);

x1 = 0:0.001:6;
y1 = df(x1);

% 绘制原函数以及导函数图像
subplot(1,2,1);
plot(x0,y0),grid on;
title(['原函数:',string(f(x))])
xlim([0 6.1]);
ylim([-1 6.1]);
% 设置坐标轴
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

subplot(1,2,2);
plot(x1,y1),grid on;
title(['导数:',string(df(x))])
% 设置坐标轴
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
xlim([0 6.1]);
ylim([-1 6.1]);
end

经验证，$\varphi_1(x)$ 与 $\varphi_1’(x)$在$[4,5]$之间可进行迭代

实验三1:5

经验证，$\varphi_2(x)$ 与 $\varphi_2’(x)$在$[3,4]$之间可进行迭代

实验三1:4

经验证，$\varphi_3(x)$ 与 $\varphi_3’(x)$在$[2,3]$之间可进行迭代

实验三1:3

经验证，$\varphi_4(x)$ 与 $\varphi_4’(x)$在$[1,2]$之间可进行迭代

实验三1:2

经验证，$\varphi_5(x)$ 与 $\varphi_5’(x)$在$[0,1]$之间可进行迭代

实验三1:1

不动点迭代法函数matlab代码如下：

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% Nonlinear_Iteration.m
function Nonlinear_Iteration(f,start)
format long;
disp('不动点迭代方程为:')
disp(f)
st = start;
disp(['迭代初值为:',num2str(start)])
x=feval(f,st);
Eps=1E-8;
i=1;
while 1
    x0=x;
    i=i+1;
    x=feval(f,x);
    if ~isreal(x)  %  不是实数不进行迭代
        break;
    end
    if x>1E10  % 若大于给定值，则发散，不进行迭代
        break;
    end
    if abs(x-x0)<Eps
        break;
    end
end
% 输出迭代次数以及解
disp(['迭代次数为:',num2str(i)])
disp('迭代产生的解为:')
disp(x)
format short;
end
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% 由不同迭代方程进行不动点迭代
f=inline('((-12.5*x^4+57.5*x^3-118.75*x^2+105.5625*x-29.53125)/(-1))^(1/5)');
g=inline('((x^5+57.5*x^3-118.75*x^2+105.5625*x-29.53125)/12.5)^(1/4)');
h=inline('((x^5-12.5*x^4-118.75*x^2+105.5625*x-29.53125)/(-57.5))^(1/3)');
p=inline('((x^5-12.5*x^4+57.5*x^3+105.5625*x-29.53125)/118.75)^(1/2)');
q=inline('((x^5-12.5*x^4+57.5*x^3-118.75*x^2-29.53125)/(-105.5625))');

Nonlinear_Iteration(f,4.1);
Nonlinear_Iteration(g,3.1);
Nonlinear_Iteration(h,2.1);
Nonlinear_Iteration(p,1.1);
Nonlinear_Iteration(q,0.1);

用牛顿迭代法，计算到$|x_k - x_{k-1}|<10^{-8}$为止．输出迭代初值及各次迭代值和迭代次数$k$

matlab代码如下：

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format long;
f=inline('x-(x^5-12.5*x^4+57.5*x^3-118.75*x^2+105.5625*x-29.53125)/(5*x^4-50*x^3+172.5*x^2-237.5*x+105.5625)');
for j=0.2:1:4.2
    disp(['迭代初值为:',num2str(j)])
    x=feval(f,j);
    Eps=1E-8; % 设置精度
    i=1;
    while 1
        x0=x;
        i=i+1;
        x=feval(f,x); % 进行迭代
        if ~isreal(x)   %  不是实数不进行迭代
            break;
        end
        if x>1E10  % 若大于给定值，则发散，不进行迭代
            break;
        end
        if abs(x-x0)<Eps  % 达到设定精度后退出
            break;
        end
    end
    % 输出迭代次数以及解
    disp(['迭代次数为:',num2str(i)])
    disp(['迭代产生的解为:',num2str(x)])
    format short;  
end

比较上述两种方法的优劣.

使用牛顿迭代法的迭代次数明显少于（1）中的不动点迭代法，且无需考虑

牛顿迭代法的初值选取对迭代的收敛速度与收敛目标景响较大；

要求f(x)有 2 阶连续的导数，条件比较强。