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动态规划问题

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算法导论中动态规划问题

钢条切割

问题描述

钢条切割问题是这样的：给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表 $p_{i} (i=1,2,\ldots,n)$ ，求切割钢条方案，使得销售$r_{n}$收益最大。注意，如果长度为n英寸的钢条的价格$p_{n}$足够大，最优解可能就是完全不需要切割

实现

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#include <iostream>
using namespace std;

int max(int a, int b)
{
    return a > b ? a : b;
}

int Memorized_Cut_Rod_Aux(int p[], int n, int r[])  // “备忘”递归
{
    if (r[n] >= 0)
        return r[n];
    int profit = 0;
    if (n == 0)
        profit = 0;
    else
    {
        profit = -1;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            profit = max(profit, p[i] + Memorized_Cut_Rod_Aux(p, n - i, r));
    }
    r[n] = profit;
    return r[n];
}

int Bottom_Up_Rod(int p[], int n)		// 自底向上
{
    int r[n];
    memset(r, 0, sizeof(r));
    for (int j = 1; j <= n; j++)
    {
        int profit = -1;
        for (int i = 1; i <= j; i++)
            profit = max(profit, p[i] + p[j - i]);
        r[j] = profit;
    }
    return r[n];
}

int main()
{
    int p[11] = {0, 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30};
    int r[50];
    memset(r, -1, sizeof(r));
    cout << Memorized_Cut_Rod_Aux(p, 10, r) << endl;
    cout << Bottom_Up_Rod(p, 10) << endl;
    return 0;
}

扩展

下面给出的是 BOTTOM-UP-CUT- ROD的扩展版本，它对长度为 j 的钢条不仅计算最大收益值$r_{j}$，还保存最优解对应的第一段钢条的切割长度$s_{j}$：

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int Extented_Bottom_Up_Rod(int p[], int n, int *r, int *s)
{
    r[0] = 0;
    for (int j = 1; j <= n; j++)
    {
        int profit = -1;
        for (int i = 1; i <= j; i++)
        {
            if (profit < p[i] + p[j - i])
            {
                profit = p[i] + p[j - i];
                s[j] = i;
            }
        }
        r[j] = profit;
    }
    return r[n];
}

时间复杂度

自底向上与“备忘”递归两种方法的时间复杂度同阶，自底向上的方法由于没有递归的消耗，在常数因子上优于“自底向上”的方法

两种方法的时间复杂度均为：$T(n) = \Theta(n^{2})$